Векторна алгебра і деякі її застосування. Вектори. Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком. Вектори позначають  EMBED Equation.3 
 або  EMBED Equation.3 
 або а, b, c. При позначенні вектора двома літерами (наприклад,  EMBED Equation.3 
) перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою. Довжину (модуль) вектора позначають  EMBED Equation.3 
,  EMBED Equation.3 
. Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивись мал.1)  EMBED Equation.3 
 А В  EMBED Equation.3 
 Мал.1 Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:  EMBED Equation.3 
 якщо одиниця масштабу: . Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають. Такий вектор позначають  EMBED Equation.3 
, його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний. Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки:  EMBED Equation.3 
.  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивись мал.2)  EMBED Equation.3 
 Мал.2 Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні. Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини. Вектор, протилежний вектору  EMBED Equation.3 
 позначають  EMBED Equation.3 
. Ортом вектора  EMBED Equation.3 
 називають вектор  EMBED Equation.3 
0 довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з  EMBED Equation.3 
, тобто  EMBED Equation.3 
= EMBED Equation.3 
0. Компланарними називають вектори, що лежать в одній площині. В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Еn. Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру. Наприклад,  EMBED Equation.3 
є Е5  EMBED Equation.3 
є Е4 Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі. Деякі економічні приклади. В розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки. Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v1, v2, v3, v4), компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб  EMBED Equation.3 
 інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3. Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів. Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією. Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок часу t, позначимо хі. Тоді виробничі ресурси – це вектор Х = (х1, х2, … хn). Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо уі. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y1, y2, … ym). Нехай  EMBED Equation.3 
- вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів  EMBED Equation.3 
, тобто  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 Продуктивна функція задається аналітично або таблично. Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду  EMBED Equation.3 
 називають функцією випуска, а розв’язану відносно вектора Х, тобто вигляду  EMBED Equation.3 
 називають функцією виробничих витрат. Зрозуміло, що ці функції у конкретних випадках (коли вказано закони  EMBED Equation.3 
 та  EMBED Equation.3 
) використовують правила дій з векторами. Математичні моделі економічних задач Навіть найпростіші лінійні ...